Acteur soviétique né en Crimée alors dans l’empire russe, Andreï Abrikossov est issu d’une famille d’agronomes. Durant sa jeunesse, il va ainsi devenir agriculteur avant de s’installer à Moscou où il suit des cours d’art dramatique à partir de 1925. Pourtant, sa carrière théâtrale ne décolle pas vraiment et il est finalement repérée par la réalisatrice Olga Preobrajenskaïa qui l’engage pour Le Don paisible (1930). Le film est un triomphe qui lui apporte la notoriété et des engagements au théâtre en tant que rôle principal. Dans les années 30, il devient un comédien important du théâtre moscovite et se fixe même au Théâtre Vakhtangov à partir de 1938.
Au cinéma, on a pu l’apprécier dans Les aubes de Paris (Roshal, 1937), Alexandre Nevski (Eisenstein, 1938), Ivan le terrible (Eisenstein, 1944) où il joue un boyard. Par la suite, on le retrouve en général dans La chute de Berlin (Tchiaoureli, 1950) et en prince Vladimir dans Le géant de la steppe (Ptouchko, 1956). Il reste d’ailleurs fidèle à Ptouchko en interprétant un autre de ses films : Rousslan et Ludmilla (1972).
Andreï Abrikossov meurt en 1973 à l’âge de 66 ans.